Strøbye était surtout connu pour ses rôles comiques, notamment celui de l'oncle confus dans Min søsters børn (Les Enfants de ma sœur) et du arnaqueur Gyldenkål dans Familien Gyldenkål (La Famille Gyldenkål).
Mais son plus grand rôle et son plus grand succès ont été dans la série télévisée Matador où il incarnait l'avocat Skjold Hansen. Il a commencé sa carrière d'acteur et sa formation au Det Kongelige Teater (le Théâtre royal danois) et a également travaillé au Folketeatret (le Théâtre du peuple).
Strøbye a fait ses débuts au cinéma dans Nåler en 1951 et son dernier rôle remonte à 1998, où il jouait l'inspecteur vieillissant dans les légendaires films d'Olsen Banden.