Clyde est né dans le village de Dorney, dans le comté anglais du Buckinghamshire, et il est le fils de Lady Elizabeth Wellesley. Par sa ligne maternelle, Clyde est l'arrière-arrière-arrière-petit-fils d'Arthur Wellesley, 1er duc de Wellington, et il est le cousin du duc de Wellington actuel. Pendant son enfance, il a suivi sa scolarité dans deux écoles indépendantes en pensionnat en Angleterre : l'école Ludgrove, à Wokingham Without, et le collège d'Eton à Eton. Il a également étudié pendant un an à l'université de Grenoble en France. Par la suite, il a fréquenté et obtenu son diplôme de la Central School of Speech and Drama, une école affiliée à l'université de Londres, où il a étudié l'art dramatique. C'est également là qu'il a rencontré en 1960 son futur partenaire musical, Chad Stuart.