Eloğlu a quitté Istanbul pour Cologne à l'âge de quatre ans. Le nom « Şiir » est issu de son père, Metin Eloğlu (1927–1985), peintre et parolier, qui a reçu d'importants prix littéraires dans les années 1960 et 1970.
Après avoir obtenu son diplôme de fin d'études secondaires à Cologne, Eloğlu a étudié quatre ans à la Hochschule für Musik Saar à Sarrebruck. Ses premiers engagements l'ont ensuite menée dans des théâtres à Erlangen, Oberhausen et Cologne.
En 1991, elle a tourné son premier film avec Kinofilm, Happy Birthday, Türke!, réalisé par Doris Dörrie aux côtés d'Ulrike Folkerts dans sa première scène. Eloğlu s'est fait connaître d'un large public entre 1993 et 1996 grâce à son rôle de jeune assistante médicale Dr. Nesrin Ergün dans la série RTL Stadtklinik.
À la fin de 1997, elle a déménagé à Berlin. Elle a participé à des productions télévisées et cinématographiques ainsi qu'à des engagements théâtraux, notamment au Düsseldorfer Schauspielhaus, où elle a joué dans Antigone et Les Sept contre Thèbes.
Son premier long-métrage de production internationale a été le film suisse 180° – Wenn deine Welt plötzlich Kopf steht, réalisé par le cinéaste Cihan Inan à Zurich. La distribution internationale comprenait Sophie Rois, Christopher Buchholz, Sabine Timoteo et Michael Neuenschwander. Le film a été projeté dans les festivals d'Antalya, Sarrebruck, Sudbury et Marrakech, ainsi qu'en Espagne à Ourense, où il a remporté un prix pour le meilleur scénario.
Elle a incarné Leyla Yılmaz dans Almanya - Welcome to Germany, réalisé par Yasemin Şamdereli. Le film a remporté le Deutscher Filmpreis.
De 2014 à 2015, elle a interprété l'architecte Suna Kaya dans le feuilleton Lindenstraße.
