Il venait d'une très ancienne famille théâtrale tchèque des Steimar et d'une famille artistique des Kodet. Il était le fils de l'actrice tchèque Jiřina Steimar et du sculpteur Jan Kodet. Après le divorce de ses parents, sa mère a épousé Jaroslav Juhan, un pilote automobile, mais celui-ci a émigré. Cela a eu des répercussions sur la scolarité de Jiří Kodet, qui a été renvoyé du lycée et n'a été admis à la DAMU qu'à la deuxième tentative.
Il a quitté la DAMU avant d'obtenir son diplôme et a commencé sa carrière théâtrale au Théâtre de Bohême de l'Est à Pardubice (1961-1962). De 1962 à 1964, il a fait partie de l'Ensemble artistique militaire, basé à Pohořelec, à Prague. Avec cet ensemble, il a parcouru une grande partie de la Tchécoslovaquie de l'époque. Ses futurs collègues du Théâtre dramatique, Jiří Hrzán, Jiří Zahajský et Petr Skoumal, étaient avec lui dans l'ensemble. À Pardubice, il a été repéré par Jan Kačer, qui constituait une troupe pour le Théâtre Petr Bezruč à Ostrava. Kodet a travaillé à Ostrava de 1963 à 1965, et à partir de 1966, il a joué au Théâtre dramatique de Prague, où se sont installés certains membres de l'ensemble d'Ostrava. En 1991, il est devenu membre de la compagnie dramatique du Théâtre national de Prague.
Au cours de sa vie, il a joué un certain nombre de petits rôles et de rôles épisodiques au cinéma et à la télévision, mais ce n'est qu'à la fin de sa vie qu'il a pu incarner des rôles importants, notamment grâce au réalisateur Jan Hřebejk, qui l'a choisi pour son film Nous ne nous quitterons pas, et auparavant aussi pour Tanières douillettes, qui a été son plus grand succès cinématographique.
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