Né à Londres, Robbins était employé de banque avant de devenir acteur après avoir participé à des spectacles dramatiques amateurs à Hitchin, dans le Hertfordshire, où il vivait avec sa famille à l'époque. Robbins fit ses débuts à la télévision en incarnant un soldat cockney dans Roll-on Bloomin' Death. Principalement acteur comique, il est surtout connu pour le rôle d'Arthur Rudge, le mari constamment sarcastique d'Olive (Anna Karen), dans la populaire sitcom On the Buses (1969–73). Robbins et Karen fournissaient la trame comique secondaire aux aventures comiques de Reg Varney au dépôt d'autobus. Robbins apparut également dans les films dérivés de la série, On the Buses, Mutiny on the Buses et Holiday on the Buses. Ses autres rôles comiques incluent des apparitions ponctuelles dans Man About the House, Oh Brother!, The Good Life, One Foot in the Grave, The New Statesman, George and Mildred, Hi-de-Hi! et You Rang, M'Lord? Il apparut en tant que sergent de police au ton plutôt humoristique dans l'adaptation télévisée de Brendon Chase.
Au-delà de ces rôles comiques, il endossa différents rôles dramatiques dans certaines des grandes séries télévisées britanniques des années 1960 et 1970 : notamment Minder, The Sweeney, Z-Cars, Return of the Saint, Murder Most English, The Avengers, Dixon of Dock Green, The Bill et l'épisode de Doctor Who de 1982 intitulé The Visitation.
Ses crédits cinématographiques comprenaient The Whisperers, Up The Junction, The Looking Glass War, Zeppelin et les films de Blake Edwards La Panthère rose se déchaîne et Victor/Victoria. Il eut également une carrière très active en tant qu'acteur de radio, notamment un rôle dans le feuilleton Waggoner's Walk et dans le spectacle satirique des années 1970 Life is What Yer Make It.
Robbins était un infatigable bénévole pour des œuvres de charité. Il était actif au sein du Grand Order of Water Rats (élu « Rat de l'année » en 1978) et de la Catholic Stage Guild, et reçut une distinction pontificale pour ses services en 1987. Lors de l'une de ses dernières apparitions télévisées, dans A Little Bit of Heaven, Robbins se remémorait ses visites d'enfance en Norfolk et parlait de sa foi et de son amour pour le Sanctuaire de Notre-Dame de Walsingham. Michael Robbins avait un frère, Jack, qui fut directeur d'école au collège catholique Saint Gregory's à Bedford dans les années 1970 et au début des années 1980. Michael fit quelques apparitions invité dans cette école au fil des années et divertit parfois les élèves avec diverses sketches qu'il réalisait avec son frère Jack Robbins.
Au milieu des années 1970, il réalisa également un film : How Are You?
